2022年卡塔尔世界杯已经进入了最激烈的淘汰赛阶段——这意味着在接下来的赛程中，每场比赛结束后都会有一支球队离开世界杯舞台。

足球不仅仅是一项竞技运动。激烈的赛场里其实隐藏着无数的数学思想。足球真的是圆的吗？球的改变会给这项运动带来哪些变化？小组赛出线所需的最低积分是多少？我们与担任多所中小学教育指导顾问的电子科技大学赵武老师聊天，从数学角度“一起看世界杯”。

与排球或篮球不同，足球本身是多面体——它的表面由正五边形和正六边形组成。除了用手数一数之外，我们能否通过计算知道这两个形状的数量呢？

赵武老师解释说，这其实是欧拉定理最典型的应用。这个定理是这样的：对于任何凸多面体，其顶点数V（顶点）、边数E（边）和面数F（面）之间存在不变关系：V-E+F=2。

了解了欧拉定理之后，我们再回到足球本身——如果我们仔细观察，我们可以发现一个普通的足球有以下几个特点：

01 |黑色皮革被白色皮革包围；

02 |每两个相邻的多边形恰好有一条公共边；

03 |每个顶点是三个皮肤的公共点，一个是黑色的，另一个是白色的。

假设整个足球表面有黑色皮革x块和白色皮革y块，则边数为(5x+6y)/2，顶点数为(5x+6y)/3。通过计算和观察，我们可以得出x=12，y=20，即有12张黑色皮革，20张白色皮革。

大多数情况下，足球由 32 块皮组成，其中包括 20 个六边形和 12 个五边形。但在世界杯这样的高水平足球比赛中，足球本身空气动力学特性的微小变化就足以影响球员的表现。

因此，随着技术的不断发展，在近几届世界杯上，我们看到了越来越多由越来越少的碎片组成的“完美”足球。

历年世界杯比赛用球

2006年德国世界杯用球“+Teamgeist（团队之星）”已从传统的32颗减少到14颗。这一创新，将球外表面的拼接点数量从原来的60个变为24个，线路总长度也从40.05厘米减少到33.93厘米，减少了15%以上，大大提高了线路的使用寿命。提高足球操作的准确性；

2010年南非世界杯用球“JABULANI”仅由8块皮制成，减少接缝，击球面积增加70%。被誉为史上最圆的足球；然而，这种足球由于其空气动力学设计，减少了球在空中旋转的次数，导致球的飞行路径变得飘忽不定，成为许多守门员的噩梦。

2014年巴西世界杯用球“Brazuca（桑巴荣耀）”仅由6块相同的十字形皮面制成，超越“万国庆典”，成为目前最圆的足球。为比赛带来更好的控球、触感、稳定性和空气动力性能；

2018年俄罗斯世界杯比赛用球“Telstar 18（电视之星）”由六块皮革通过热粘合平贴而成。表面有细小的颗粒。这种设计可以避免蝴蝶球效应，这是一种球在飞行中接近零旋转时发生的不规则摆动。

今年卡塔尔世界杯使用的球“Al Rihla（旅程）”的表面采用了一种名为SPEEDSHELL的纹理聚氨酯球形材料。球面由20个SPEEDSHELL模块组成。它还采用三角形形状和弯曲设计，降低了球在空中的高度。运行阻力系数。

除了足球本身之外，球场上也有数学元素。

足球比赛场地必须是长方形，长90米至120米，宽45米至90米。球门高2.44米，宽7.32米。其中，大禁区长40.32米，宽16.5米，距底线球门柱16.5米；小禁区长18.32米，宽5.5米，距底线球门柱5.5米；以球场中点为圆心，画出的圆的半径为9.15米（10码），称为中圆。

国际足联规定的标准足球场尺寸为105米*68米，面积为7140平方米。以足球场为参考可以帮助孩子培养大面积的体积感。例如，1平方公里大约相当于140个标准足球场的大小。

当越来越多的数据和技术应用到足球场上时，球员的表现将会以直观的方式呈现在观众面前。

在本届世界杯上，比赛结束后几分钟内，赛事组织者将向每位球员发送其场上表现的详细分析。前锋可以看到自己错失了多少次，错失了多少次机会，而后卫则可以看到自己干扰了对手控球的次数。

这是数字在足球中的最新应用——数据分析现在可以为球场内外的一切提供科学指导，从球员转会和训练强度到制定有针对性的战术和球场上的最佳传球。路线和最佳跑步策略等等。

世界杯小组赛采用单循环积分制——小组四队共进行6场比赛，胜一场积3分，平一场积1分，负一场不得分。排名前两名的球队进入淘汰赛阶段。

早在小组赛第二轮结束时，世界杯就进入了最“喜闻乐见”的计分环节——E组的西班牙和德国两支欧洲传统球队在什么情况下会“出局”。家”在一起； H组韩国队什么情况下才能从乌拉圭手中夺取出线名额？已经确定出线的法国队将如何影响小组出线形势……

世界杯上，一支球队需要拿到多少分才能晋级小组赛？

对于这个问题，赵武老师说：“我们小学数学中有一个很好的方法来解决这个问题——枚举法，它列出了小组赛中所有可能的结果。积分制中出线的实际问题是：概率论中最典型的经典概念（经典概念是概率论中最直观、最简单的模型，概率的很多运行规则都是在这个模型下首先得到的）只要列出所有可能的结果就可以用经典计算出来。公式。”

赢两场比赛就能保证晋级吗？如果不赢比赛就会被淘汰吗？赵武老师举了两个例子。

“赢三场比赛肯定能晋级，但赢两场比赛不一定能晋级。”赵武老师说。 ”比如，在一个小组中，有一支球队是超级“鱼肚皮”球队，一场比赛都没有赢，剩下的三支球队各有各的优势，同时这三支球队形成了一种相互制约的关系——A队获胜B、B胜C、C胜A。这样，ABC三队各得6分即可过网，以胜球数和进球数决定出线球队。

在这种情况下，即使赢下两场比赛拿到6分，球队也不一定能出线。

“但也有一种情况，即使小组赛一场不赢，也有晋级的机会。”赵武老师继续说道：“比如，在一个小组中，有一支球队是超级强队，赢了三场比赛，积9分。同时，剩下的三支球队都是平手，各有2分。”点。”

这样一来，ABC的三支球队中，肯定会有一支球队无法赢得一场比赛，但仍然能够晋级。因此，即使只积累2分，理论上也是可以晋级的。

在和孩子一起观看世界杯时，赵武老师建议家长可以引导孩子通过表格将可能的出线情况一一列出。

“这非常善于训练孩子们的思维，”赵武老师开玩笑说：“我们要把‘枚举法’的每一点都榨干，这几年，中考、高考中一些看似很难的题，其实都得到了解决。”通过枚举。”通过一一列举，就能找到解决问题的思路和方法。 ”

E组实时排位赛图©️英国足球的一些事

除了通过积分计算出线形势外，“计算积分挑选对手”也是历年来世界杯热议的问题之一。

2018年世界杯有这样一个数学难题——已经确定晋级的英格兰和比利时在小组赛第三轮相遇。本场比赛，胜队将小组排名第一，与法国、阿根廷、巴西、葡萄牙等多支强队一起进入上半区，而落败队将能以纸面实力较弱的球队进入下半区。 。

强队向来可以在胜利确定的情况下通过“算分”的方式来选择对手，但在赵武先生看来，这样的“选择”违背了体育公平竞争的精神——运动员志在夺冠的球队不惧怕任何对手。

因为最好的算计就是全力以赴去追求胜利。

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世界杯已经进入紧张阶段。家长们不妨趁着这波足球嘉年华，从一颗小皮球、社区的足球场、足球的赛制和规则入手，带孩子去参加“世界杯”。当“氛围感”充满时，从事一些有趣的数学学习。

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